La colaboración de Ramanujan con Hardy y Littlewood.
Hardy y Littlewood comenzaron a revisar los cuadernos de Ramanujan, donde había mucho más de los 120 teoremas que Ramanujan había enviado a Hardy en sus dos primeras cartas.
Aunque algunos teoremas eran incorrectos y otros ya habían sido descubiertos, Hardy quedó impresionado por el genio de Ramanujan, al que veía como un segundo Euler. Hardy tenía una escala subjetiva de valoración del genio matemático con la que a Ramanujan, David Hilbert, Littlewood y a sí mismo atribuía las calificaciones 100, 80, 30 y 25.
Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood. Hardy y Ramanujan tenían culturas diferentes y estilos de trabajo y creencias opuestos.
Littlewood también colaboró dando formación a Ramanujan hasta el comienzo de la Guerra Mundial en 1914, que obligó a Littlewood a participar en la contienda. Durante los años siguientes Ramanujan publicó muchos trabajos y dejó muchos resultados escritos sin publicar, gracias a la fructífera colaboración matemática con Hardy, con quien se veía a diario. A título de ejemplo vamos a omentar algunas de sus aportaciones al problema de la partición obtenidas en el artículo Une formule asymptotique pour le nombre des partitions de n, publicado en 1917 en los Comptes Rendus.
Una partición de un número natural n es una sucesión decreciente de naturales cuya suma es n.
Por ejemplo, para n = 4 se tiene que 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1,
por lo que si p(n) es el número de particiones distintas de n, es p(4) = 5.
A principios del siglo XX, se obtuvo que p(200) = 3.972.999.029.388.
En el referido artículo de 1917, Ramanujan y Hardy obtuvieron una fórmula asintótica que permitía hallar p(n)12. Además Ramanujan probó que p(n) es múltiplo de 5, de 7 o de 11 si n = 5k + 4, n = 7k+5 o n = 11k+6, respectivamente.
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